Plano XY

Plano XZ

Plano YZ

Plano 3D

Conclusiones

Se concluye que cualquier diferencia en las condiciones iniciales, cambia de forma dramática los resultados, lo cual supone el efecto mariposa (hipersensibilidad a las condiciones iniciales).
A pesar de lo anterior, la impredecibilidad del sistema, lejos de ser un comportamiento al azar, tiene una curiosa tendencia a evolucionar dentro de una zona muy concreta del espacio de fases (espacio hipotético n-dimensional, en el que cada estado del sistema está representado por un punto).

Objetivos

Objetivo general:

• Simular el atractor de Lorenz mediante la solución del sistema de ecuaciones diferenciales.

Objetivos específicos:

• Explicar el origen y los fundamentos que encierra la Teoría del caos.
• Identificar la utilidad del método de Runge Kutta de orden cuatro para la solución del sistema de ecuaciones diferenciales que describen el atractor de Lorenz.
• Mostrar que al modificar las condiciones iniciales del atractor de Lorenz cambia drásticamente su forma.

Diagrama de Flujo del Algoritmo Implementado

Solución Propuesta

El desarrollo de este proyecto se inició con el método de Runge Kutta de orden cuatro para la solución del sistema de ecuaciones diferenciales del atractor de Lorenz, simplificadas de la siguiente manera:

El método empleado de Runge Kutta se basa en las siguientes ecuaciones:

Para la apropiada aplicación de este método utilizamos el cambio de variable correspondiente a:

Donde los valores correspondientes a las constantes a, b, c son:

Luego del anterior procedimiento y la condición inicial de [3 15 1], Runge Kutta nos genera un vector con las tres coordenadas (x,y,z), el cual se grafica mediante el comando plot3.
Después de hacer esta simulación, pasamos a graficar punto por punto sobre esta trayectoria.

Base teórica

Hacia 1960, el meteorólogo Edward Lorenz se dedicaba a estudiar el comportamiento de la atmósfera, tratando de encontrar un modelo matemático, un conjunto de ecuaciones, que permitiera predecir a partir de variables sencillas, mediante simulaciones de ordenador, el comportamiento de grandes masas de aire, en definitiva, que permitiera hacer predicciones climatológicas. Lorenz realizó distintas aproximaciones hasta que consiguió ajustar el modelo a la influencia de tres variables que expresan como cambian a lo largo del tiempo la velocidad y la temperatura del aire. El modelo se concretó en tres ecuaciones matemáticas, bastante simples, conocidas, hoy en día, como modelo de Lorenz.Pero, Lorenz recibió una gran sorpresa cuando observó que pequeñas diferencias en los datos de partida (algo aparentemente tan simple como utilizar 3 ó 6 decimales) llevaban a grandes diferencias en las predicciones del modelo. De tal forma que cualquier pequeña perturbación, o error, en las condiciones iniciales del sistema puede tener una gran influencia sobre el resultado final. De tal forma que se hacía muy difícil hacer predicciones climatológicas a largo plazo. Los datos empíricos que proporcionan las estaciones meteorológicas tienen errores inevitables, aunque sólo sea porque hay un número limitado de observatorios incapaces de cubrir todos los puntos de nuestro planeta. Esto hace que las predicciones se vayan desviando con respecto al comportamiento real del sistema.Lorenz intentó explicar esta idea mediante un ejemplo hipotético. Sugirió que imaginásemos a un meteorólogo que hubiera conseguido hacer una predicción muy exacta del comportamiento de la atmósfera, mediante cálculos muy precisos y a partir de datos muy exactos. Podría encontrarse una predicción totalmente errónea por no haber tenido en cuenta el aleteo de una mariposa en el otro lado del planeta. Ese simple aleteo podría introducir perturbaciones en el sistema que llevaran a la predicción de una tormenta.De aquí surgió el nombre de efecto mariposa que, desde entonces, ha dado lugar a muchas variantes y recreaciones.Se denomina, por tanto, efecto mariposa a la amplificación de errores que pueden aparecer en el comportamiento de un sistema complejo. En definitiva, el efecto mariposa es una de las características del comportamiento de un sistema caótico, en el que las variables cambian de forma compleja y errática, haciendo imposible hacer predicciones más allá de un determinado punto, que recibe el nombre de horizonte de predicciones.